Space of my mind(내 머릿속의 공간)

연습문제

1. 검정통계량이 표준정규분포를 따른다고 할 때, 확률변수 $Z$의 분포그림을 그리고 다음 각 기각역을 음영으로 표현하라.

(a) $Z > 1.96$

(b) $Z > 1.645$

(c) $Z > 2.58$

(d) $Z < -1.28$

(e) $Z < -1.645$ 또는 $Z >1.645$

(f) $Z < -1.96$ 또는 $Z > 1.96$

스크립트는 다음과 같다.

(코드는 콘솔창 보다는 스크립트창에서 작업하는게 수정하기도 좋다.)

fnn <- function(a){                        

x <- seq(-3,3,length=200)           

y <- dnorm(x)                       

if(a<0){x.bar <- seq(-3,a,length=50)} 

else{x.bar <- seq(a,3,length=50)}      

y.bar <- dnorm(x.bar)                   

plot(x, dnorm(x, mean=0, sd = 1), type = 'l', main = "Normal distribution,X~N(0,1)") 

axis(1,at=a,labels=a,pos = c(0,0))

polygon(c(x.bar, x.bar[length(x.bar)], x.bar[1]), c(y.bar,0,0), col = 'aquamarine')

실행시키면 다음과 같다.

(a) 

(b) 

(c)

(d)

(e)

(f)

2. [연습문제 1]의 각 기각역에 대한 제1종 오류의 크기, 즉 유의수준 $\alpha$를 구하라.

   즉, 주어진 확률값 $Z$에 대한 함수값을 구하라는 말이므로 유의수준 $\alpha$는 각각 다음과 같다.

(a) $\alpha = 0.05$   (b) $\alpha = 0.1$   (c) $\alpha = 0.01$ 

(d) $\alpha = 0.11$   (e) $\alpha = 0.1$   (f) $\alpha = 0.05$

10.6 단일집단의 모분산 $\sigma^{2}$에 대한 검정($\chi^{2}$ 검정)

   단일정규모집단의 모분산 $\sigma^{2}$에 대한 검정은 모분산 $\sigma^{2}$이 어떤 특정 값 $\sigma_{0}^{2}$과 같은가에 대한 검정이라 할 수 있다. 예를 들면 시중에 판매되는 저울은 동일한 무게의 추를 반복해서 측정할 때 발생되는 오차의 허용한계가 정해져 있다고 하자. 시중에 판매되는 저울이 합격품이 되기 위해서는 반복측정의 분산이 특정 값 $\sigma_{0}^{2}$보다 작아야 된다고 할 때, 반복측정의 결과에 의해 $\sigma_{2} = \sigma_{)}^{2}$에 대한 $\sigma^{2} < \sigma_{0}^{2}$의 검정을 실시할 수 있다. 이와 같은 단일집단의 모분산에 대한 검정에 있어서 검정통계량은 표본분산 $S^{2}$을 이용한다.

   1. 가설의 설정

      (a) 양측검정 : $H_{0} : \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$, H_{1} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}$

      (b) 단측검정 : $H_{0} : \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$, H_{1} : \sigma^{2} > \sigma_{0}^{2} (또는 \sigma^{2} < \sigma_{0}^{2})  $

   2. 검정통계량과 분포

      $T(X) = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$         $T(X) \sim \chi_{(n-1)}^{2}$

   3. 검정 $\chi_{(n-1)}^{2}$에서 검정의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 따라 기각역을 설정하고, $T(X)$ 기각역에 속하면 귀무가설을 기각한다.

그동안 아프고 바빠서 정리를 못했는데....다시 시작하도록 한다.

10.5 모비율 $P$에 대한 검정

   모집단의 특싱어 비율 $P$인 경우 이 비율에 대한 검정을 실시할 수 있다. 예를 들면 "광역의회 선거에서 투표율이 50% 이상이 될 것인가?" 또는 "가족법 개정안에 대해 남자와 여자의 찬성 비율이 동일한가?" 등 많은 경우에 있어서 모집단의 비율에 대한 검정을 생각할 수 있다. 이와 같이 모비율 $P$에 대한 검정에서 기본적으로 전제가 되는 확률분포는 이항분포이며, 검정의 과정은 모평균 $\mu$에 대한 검정과 동일하다.

10.5.1 단일모비율 $P$에 대한 검정

  하나의 모집단에서 모비율 $P$가 특정 값과 같은가에 대한 검정은 단일 모평균 $\mu$에 대한 검정과정과 동일하다고 할 수 있다. 차이점은 단일모평균 $\mu$에 대한 검정은 모분산 $\sigma^{2}$을 모를 때 표본의 크기 $n$에 의해 표준정규분포 $N(0,1)$ 또는 자유도가 $n-1$인 $t$분포를 이용해 검정한느데 비해 모비율 $P$에 대한 검정은 표본의 크기 $n$에 관계없이 항상 표준정규분포를 이용해 검정을 실시한다.

 단일 모집단의 특성의 비율 $P$에 대한 검정에서 $n$개의 표본을 관찰한 결과 모집단의 특성을 만족하는 경우가 $X$개라 할 때 모비율 $P$가 특정 값 $P_{0}$과 같은가에 대한 검정과정은 다음과 같다.

   1. 가설의 설정

      (a) 양측검정 : $H_{0} : P=P_{0},  H_{1} : P \neq P_{0}$

      (b) 단측검정 : $H_{0} : P=P_{0},  H_{1} : P > P_{0}(또는  P < P_{0}$

   2. 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값과 분포

      $\hat{P} \ = \ \frac{X}{n}$ 라 할 때 귀무가설 하에서 검정통계량의 값은

      $T(X) = \frac{ \hat{P}-P_{0}} {\sqrt { \frac{P_{0}(1-P_{0})}{n} } } $

      이고, $T(X)$는 근사적으로 표준정규분포 $N(0,1)$을 따른다.

   3. 검정

      검정의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 따라 기각역을 구하고, $T(X)$가 기각역에 속하면 $H_{0}$를 기각하고 기각역에 속하지 않으면 $H_{0}$를 채택한다.

10.5.2 두 모비율의 동일성에 대한 검정

   1. 가설의 설정

      (a) 양측검정 : $H_{0} : P_{1}=P_{2},  H_{1} : P_{1} \neq P_{2}$

      (b) 단측검정 : $H_{0} : P_{1}=P_{2},  H_{1} : P_{1} > P_{2}(또는  P_{1} < P_{2})$

   2. 검정통계량과 분포

      $\hat{P_{1}} = \frac{X_{1}}{n_{1}}$, $\hat{P_{2}} = \frac{X_{2}}{n_{2}}$,  $\hat{P} = \frac{X_{1}+X_{2}}{n_{1}+n_{2}}$

      라 할 때 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값 T(X)는

      $T(X) = \frac{ \hat{P_{1}} - \hat{P_{2}} }{ \sqrt { \hat{P}( 1-\hat{P} )( \frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}} )  } }$

      이고, $T(X) \sim N(0,1)$이다.

   3. 검정

      검정의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 따라 $N(0,1)$에서 기각역을 구하고, $T(X)$가 기각역에 속하면 $H_{0}$를 기각하고 기각역에 속하지 않으면 $H_{0}$를 채택한다.

10.4 짝진표본의 모평균에 대한 검정

   $n$개의 쌍 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \cdots, (x_{n}, y_{n})$으로 관측된 표본에서 $d_{i} = x_{i} -y_{i}, \ i = 1, 2, \cdots, n$이라 할 때 두 집단 평균 $\mu_{X}, \mu_{Y}$의 동일성에 대한 검정은 $\mu_{D} = \mu_{X} -\mu_{Y}$이므로 다음과 같이 실시한다.

1. 가설의 설정 

(a) 양측검정 : $H_{0} : \mu_{D} = 0, \ H_{1} : \mu_{D} \neq 0$

(b) 단측검정 : $H_{0} : \mu_{D} = 0, \ H_{1} : \mu_{D} > 0(또는 \mu_{D} < 0)$

2. 검정통계량과 분포

$\overline d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{i}$

$S_{d}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(d_{i} -\overline d)^{2}$

이라고 할 때, 귀무가설 하에서 검정통계량의 값은

$T(X) = \frac{\overline d}{S_{d}/\sqrt{n}}$

이고, $T(X)의 분포는

$T(X) \sim N(0,1), \ n > 30 인 경우,$

$T(X) \sim t_{n-1}, \ n \leq 30 인 경우$

이다.

3. 검정

검정통계량 $T(X)$의 분포에서 가설의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 의해 기각역을 설정한다. 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값 $T(X)$가 기각역에 속하면 귀무가설을 기각하고, 기각역에 속하지 않으면 귀무가설을 채택한다.