10.5 모비율 P에 대한 검정

그동안 아프고 바빠서 정리를 못했는데....다시 시작하도록 한다.

10.5 모비율 $P$에 대한 검정

   모집단의 특싱어 비율 $P$인 경우 이 비율에 대한 검정을 실시할 수 있다. 예를 들면 "광역의회 선거에서 투표율이 50% 이상이 될 것인가?" 또는 "가족법 개정안에 대해 남자와 여자의 찬성 비율이 동일한가?" 등 많은 경우에 있어서 모집단의 비율에 대한 검정을 생각할 수 있다. 이와 같이 모비율 $P$에 대한 검정에서 기본적으로 전제가 되는 확률분포는 이항분포이며, 검정의 과정은 모평균 $\mu$에 대한 검정과 동일하다.

10.5.1 단일모비율 $P$에 대한 검정

  

  하나의 모집단에서 모비율 $P$가 특정 값과 같은가에 대한 검정은 단일 모평균 $\mu$에 대한 검정과정과 동일하다고 할 수 있다. 차이점은 단일모평균 $\mu$에 대한 검정은 모분산 $\sigma^{2}$을 모를 때 표본의 크기 $n$에 의해 표준정규분포 $N(0,1)$ 또는 자유도가 $n-1$인 $t$분포를 이용해 검정한느데 비해 모비율 $P$에 대한 검정은 표본의 크기 $n$에 관계없이 항상 표준정규분포를 이용해 검정을 실시한다.

 

 단일 모집단의 특성의 비율 $P$에 대한 검정에서 $n$개의 표본을 관찰한 결과 모집단의 특성을 만족하는 경우가 $X$개라 할 때 모비율 $P$가 특정 값 $P_{0}$과 같은가에 대한 검정과정은 다음과 같다.

   1. 가설의 설정

      (a) 양측검정 : $H_{0} : P=P_{0},  H_{1} : P \neq P_{0}$

      (b) 단측검정 : $H_{0} : P=P_{0},  H_{1} : P > P_{0}(또는  P < P_{0}$

   2. 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값과 분포

      $\hat{P} \ = \ \frac{X}{n}$ 라 할 때 귀무가설 하에서 검정통계량의 값은

      $T(X) = \frac{ \hat{P}-P_{0}} {\sqrt { \frac{P_{0}(1-P_{0})}{n} } } $

      이고, $T(X)$는 근사적으로 표준정규분포 $N(0,1)$을 따른다.

  

   3. 검정

      검정의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 따라 기각역을 구하고, $T(X)$가 기각역에 속하면 $H_{0}$를 기각하고 기각역에 속하지 않으면 $H_{0}$를 채택한다.

10.5.2 두 모비율의 동일성에 대한 검정

   1. 가설의 설정

      (a) 양측검정 : $H_{0} : P_{1}=P_{2},  H_{1} : P_{1} \neq P_{2}$

      (b) 단측검정 : $H_{0} : P_{1}=P_{2},  H_{1} : P_{1} > P_{2}(또는  P_{1} < P_{2})$

   2. 검정통계량과 분포

      $\hat{P_{1}} = \frac{X_{1}}{n_{1}}$, $\hat{P_{2}} = \frac{X_{2}}{n_{2}}$,  $\hat{P} = \frac{X_{1}+X_{2}}{n_{1}+n_{2}}$

      라 할 때 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값 T(X)는

      $T(X) = \frac{ \hat{P_{1}} - \hat{P_{2}} }{ \sqrt { \hat{P}( 1-\hat{P} )( \frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}} )  } }$

      이고, $T(X) \sim N(0,1)$이다.

   3. 검정

      검정의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 따라 $N(0,1)$에서 기각역을 구하고, $T(X)$가 기각역에 속하면 $H_{0}$를 기각하고 기각역에 속하지 않으면 $H_{0}$를 채택한다.