기초통계학 : 10.4 짝진표본의 모평균에 대한 검정(t검정)

10.4 짝진표본의 모평균에 대한 검정

   $n$개의 쌍 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \cdots, (x_{n}, y_{n})$으로 관측된 표본에서 $d_{i} = x_{i} -y_{i}, \ i = 1, 2, \cdots, n$이라 할 때 두 집단 평균 $\mu_{X}, \mu_{Y}$의 동일성에 대한 검정은 $\mu_{D} = \mu_{X} -\mu_{Y}$이므로 다음과 같이 실시한다.

1. 가설의 설정 

(a) 양측검정 : $H_{0} : \mu_{D} = 0, \ H_{1} : \mu_{D} \neq 0$

(b) 단측검정 : $H_{0} : \mu_{D} = 0, \ H_{1} : \mu_{D} > 0(또는 \mu_{D} < 0)$

2. 검정통계량과 분포

$\overline d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{i}$

$S_{d}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(d_{i} -\overline d)^{2}$

이라고 할 때, 귀무가설 하에서 검정통계량의 값은

$T(X) = \frac{\overline d}{S_{d}/\sqrt{n}}$

이고, $T(X)의 분포는

$T(X) \sim N(0,1), \ n > 30 인 경우,$

$T(X) \sim t_{n-1}, \ n \leq 30 인 경우$

이다.

3. 검정

검정통계량 $T(X)$의 분포에서 가설의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 의해 기각역을 설정한다. 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값 $T(X)$가 기각역에 속하면 귀무가설을 기각하고, 기각역에 속하지 않으면 귀무가설을 채택한다.