기초통계학 : 10.2 단일집단의 모평균 검정(t검정)

10.2 단일집단의 모평균 $\mu$의 검정($t$ 검정)

단일집단의 모평균 $\mu$에 대한 검정은 모집단의 분포가 평균 $\mu$와 분산 $\sigma^{2}$을 갖는 정규분포 $N(\mu, \sigma^{2})$을 따른다는 것을 전제한다고 할 수 있다. 검정을 하기 위해 추출한 표본을 $(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$이라 할 때 $(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$은 $N(\mu, \sigma^{2})$으로부터의 확률표본이며, 모평균 $\mu$에 대한 검정은 다음과 같다.

1. 가설의 설정

(a) 양측검정 : $H_{0} : \mu = \mu_{0}, \ H_{1} : \mu \neq \mu_{0}$

(b) 단측검정 : $H_{0} : \mu = \mu_{0}, \ H_{1} : \mu > \mu_{0}(또는 \mu < \mu_{0})$

2. 귀무가설 하에서의 검정통계량과 분포

(a) $\sigma^{2}$을 아는 경우

  

    $T(X) = \frac{\overline X - \mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

(b) $\sigma^{2}$을 모르는 경우

(i) $n > 30$ 일 때

$T(X) = \frac{\overline X - \mu_{0}}{S / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

(ii) $n \leq 30$ 일 때

$T(X) = \frac{\overline X - \mu_{0}}{S / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}$

3. 유의수준 $\alpha$ 하에서의 기각역(표준정규분포를 이용하는 경우)

(a) 양측검정 : $C_{\alpha} = (-\infty , Z_{\alpha/2}) + (Z_{1-\alpha/2},\infty)$

(b) 단측검정 : $C_{\alpha} = ( Z_{1-\alpha}, \infty)$