기초통계학 : 10.3 두 집단 모평균의 동일성에 대한 검정(t검정)

10.3 두집단 모평균의 동일성에 대한 검정($t$ 검정)

자료분석에 있어서 '남학생과 여학생의 학력고사 성적이 동일한가에 대한 비교' 라든가 '서로 다른 두 회사에서 생산된 형광등의 평균수명 비교' 등 두 집단의 모평균의 동일성에 대한 검정을 실시하는 경우가 있다. 이러한 검정에 있어서의 전제조건은 '두 집단이 서로 독립이며, 두 집단 모두 정규분포를 따른다'는 ㄳ이다.

   일반적으로 두 집단이 서로 독립이며 각 집단의 평균과 분산이 각각 $(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2})$과 $(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})$인 정규분포를 따를 때, 두 모평균의 동일성 $(\mu_{1}, \mu_{2})$에 대한 검정은 각 집단에서 '랜덤하게' $n_{1}$과 $n_{2}$개의 표본을 추출해 실시한다. 

   즉, 각 집단에서 '랜덤하게' $n_{1}$과 $n_{2}$개의 표본을 추출했을 때 각 표본의 평균과 분산을 각각 $(\overline X_{1}, S_{1}^{2})$과 $(\overline X_{2}, S_{2}^{2})$으로 표현하면 두 집단의 모수와 통계량은 다음과 같다.

	모수		표본의 크기	통계량
	모평균	모분산		표본평균	표본분산
집단 1	$\mu_{1}$	$\sigma_{1}^{2}$	$n_{1}$	$\overline X_{1}$	$S_{1}^{2}$
집단 2	$\mu_{2}$	$\sigma_{2}^{2}$	$n_{2}$	$\overline X_{2}$	$S_{2}^{2}$

두 집단의 모평균의 동일성에 대한 검정

1. 가설의 설정 

(a) 양측검정 : $H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}, \ H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2}$

(b) 단측검정 : $H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}, \ H_{1} : \mu_{1} > \mu_{2}(또는 \mu_{1} < \mu_{2})$

2. 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값과 분포

(a) $\sigma_{1}$과 $\sigma_{2}$가 알려져 있는 경우

    $T(X) = \frac{\overline X_{1} - \overline X_{2}}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}} \sim N(0,1)$

(b) $\sigma_{1}$과 $\sigma_{2}$가 알려져 있지 않는 경우

(i) $\sigma_{1} = \sigma_{2}$인 경우

    $T(X) = \frac{\overline X_{1} - \overline X_{2}}{S_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}$, $S_{p} =$ $\sqrt{\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2} + (n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

$T(X) \sim N(0,1), \ \ n_{1}+n_{2} > 30$인 경우

$T(X) \sim t_{n_{1}+n_{2}-2}, \ \ n_{1}+n_{2} \leq 30$인 경우

(ii) $\sigma_{1} \neq \sigma_{2}$인 경우

$T(X) = \frac{\overline X_{1} - \overline X_{2}}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}$

이며, $T(X)$의 분포는 $n_{1}+n_{2} >30$일 때 $T(X) \sim N(0,1)$이다.