Space of my mind(내 머릿속의 공간)

최근 대학원 스터디에서 시계열분석에 대한 주제로 발표를 하게 되었다.

워낙 통계를 싫어하는 터라 부정적인 입장을 갖고 바라보곤 했는데...

일단 발표를 해야하니 공부를 했다.

처음에는 무슨말인지 하나도 모르겠었는데...

보다보니 또 무슨말인지 이해가 되는...ㅋㅋㅋㅋㅋ

구글에서 여타 다른 책들을 많이 찾아봤지만, 전공이 수학이라 그런지

수학적인 수식과 설명이 잘 되어있지 않은 책은 별로 눈에 잘 가지 않는다...

그나마 이 책이 눈에 잘 들어오는데(저자 이름이 더 눈에 띈다...더글라스 C. 몽고메리...그래서 선택했을수도...)

첫번째 책 이외에 주로 내가 보는 통계학 책이다.(이곳에 이렇게 올려도 저작권 침해는 안받겠지....?)

(가냘픈 대학원생을 용서해주세요 대가님들과 출판업계분들...)

암튼 책소개하려는건 아니고...(이미 다 소개했지만)

앞으로 올리는 글에 이 책의 내용들이 포함될 소지가 있어 사전에 미리 알리기 위해 직접 책을 스샷찍어서 올린다.

(부디 많이 많이 팔려 저 말고 출판업계 돈 많이 벌고 저자들도 돈 많이벌게 해주세요...저말고...저말고...)

암튼 기초통계는 대략 생략하고

시계열분석의 코드와 개념 위주로 글을 쓸 예정이니....

잘 정리해놓고 기억안날때 마다 자주 들어와서 좀 보고 복기해라...쓰니야...

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10.6 단일집단의 모분산 $\sigma^{2}$에 대한 검정($\chi^{2}$ 검정)

   단일정규모집단의 모분산 $\sigma^{2}$에 대한 검정은 모분산 $\sigma^{2}$이 어떤 특정 값 $\sigma_{0}^{2}$과 같은가에 대한 검정이라 할 수 있다. 예를 들면 시중에 판매되는 저울은 동일한 무게의 추를 반복해서 측정할 때 발생되는 오차의 허용한계가 정해져 있다고 하자. 시중에 판매되는 저울이 합격품이 되기 위해서는 반복측정의 분산이 특정 값 $\sigma_{0}^{2}$보다 작아야 된다고 할 때, 반복측정의 결과에 의해 $\sigma_{2} = \sigma_{)}^{2}$에 대한 $\sigma^{2} < \sigma_{0}^{2}$의 검정을 실시할 수 있다. 이와 같은 단일집단의 모분산에 대한 검정에 있어서 검정통계량은 표본분산 $S^{2}$을 이용한다.

   1. 가설의 설정

      (a) 양측검정 : $H_{0} : \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$, H_{1} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}$

      (b) 단측검정 : $H_{0} : \sigma^{2} = \sigma_{0}^{2}$, H_{1} : \sigma^{2} > \sigma_{0}^{2} (또는 \sigma^{2} < \sigma_{0}^{2})  $

   2. 검정통계량과 분포

      $T(X) = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$         $T(X) \sim \chi_{(n-1)}^{2}$

   3. 검정 $\chi_{(n-1)}^{2}$에서 검정의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 따라 기각역을 설정하고, $T(X)$ 기각역에 속하면 귀무가설을 기각한다.

그동안 아프고 바빠서 정리를 못했는데....다시 시작하도록 한다.

10.5 모비율 $P$에 대한 검정

   모집단의 특싱어 비율 $P$인 경우 이 비율에 대한 검정을 실시할 수 있다. 예를 들면 "광역의회 선거에서 투표율이 50% 이상이 될 것인가?" 또는 "가족법 개정안에 대해 남자와 여자의 찬성 비율이 동일한가?" 등 많은 경우에 있어서 모집단의 비율에 대한 검정을 생각할 수 있다. 이와 같이 모비율 $P$에 대한 검정에서 기본적으로 전제가 되는 확률분포는 이항분포이며, 검정의 과정은 모평균 $\mu$에 대한 검정과 동일하다.

10.5.1 단일모비율 $P$에 대한 검정

  하나의 모집단에서 모비율 $P$가 특정 값과 같은가에 대한 검정은 단일 모평균 $\mu$에 대한 검정과정과 동일하다고 할 수 있다. 차이점은 단일모평균 $\mu$에 대한 검정은 모분산 $\sigma^{2}$을 모를 때 표본의 크기 $n$에 의해 표준정규분포 $N(0,1)$ 또는 자유도가 $n-1$인 $t$분포를 이용해 검정한느데 비해 모비율 $P$에 대한 검정은 표본의 크기 $n$에 관계없이 항상 표준정규분포를 이용해 검정을 실시한다.

 단일 모집단의 특성의 비율 $P$에 대한 검정에서 $n$개의 표본을 관찰한 결과 모집단의 특성을 만족하는 경우가 $X$개라 할 때 모비율 $P$가 특정 값 $P_{0}$과 같은가에 대한 검정과정은 다음과 같다.

   1. 가설의 설정

      (a) 양측검정 : $H_{0} : P=P_{0},  H_{1} : P \neq P_{0}$

      (b) 단측검정 : $H_{0} : P=P_{0},  H_{1} : P > P_{0}(또는  P < P_{0}$

   2. 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값과 분포

      $\hat{P} \ = \ \frac{X}{n}$ 라 할 때 귀무가설 하에서 검정통계량의 값은

      $T(X) = \frac{ \hat{P}-P_{0}} {\sqrt { \frac{P_{0}(1-P_{0})}{n} } }$

      이고, $T(X)$는 근사적으로 표준정규분포 $N(0,1)$을 따른다.

   3. 검정

      검정의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 따라 기각역을 구하고, $T(X)$가 기각역에 속하면 $H_{0}$를 기각하고 기각역에 속하지 않으면 $H_{0}$를 채택한다.

10.5.2 두 모비율의 동일성에 대한 검정

   1. 가설의 설정

      (a) 양측검정 : $H_{0} : P_{1}=P_{2},  H_{1} : P_{1} \neq P_{2}$

      (b) 단측검정 : $H_{0} : P_{1}=P_{2},  H_{1} : P_{1} > P_{2}(또는  P_{1} < P_{2})$

   2. 검정통계량과 분포

      $\hat{P_{1}} = \frac{X_{1}}{n_{1}}$, $\hat{P_{2}} = \frac{X_{2}}{n_{2}}$,  $\hat{P} = \frac{X_{1}+X_{2}}{n_{1}+n_{2}}$

      라 할 때 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값 T(X)는

      $T(X) = \frac{ \hat{P_{1}} - \hat{P_{2}} }{ \sqrt { \hat{P}( 1-\hat{P} )( \frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}} )  } }$

      이고, $T(X) \sim N(0,1)$이다.

   3. 검정

      검정의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 따라 $N(0,1)$에서 기각역을 구하고, $T(X)$가 기각역에 속하면 $H_{0}$를 기각하고 기각역에 속하지 않으면 $H_{0}$를 채택한다.

10.4 짝진표본의 모평균에 대한 검정

   $n$개의 쌍 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \cdots, (x_{n}, y_{n})$으로 관측된 표본에서 $d_{i} = x_{i} -y_{i}, \ i = 1, 2, \cdots, n$이라 할 때 두 집단 평균 $\mu_{X}, \mu_{Y}$의 동일성에 대한 검정은 $\mu_{D} = \mu_{X} -\mu_{Y}$이므로 다음과 같이 실시한다.

1. 가설의 설정 

(a) 양측검정 : $H_{0} : \mu_{D} = 0, \ H_{1} : \mu_{D} \neq 0$

(b) 단측검정 : $H_{0} : \mu_{D} = 0, \ H_{1} : \mu_{D} > 0(또는 \mu_{D} < 0)$

2. 검정통계량과 분포

$\overline d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{i}$

$S_{d}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(d_{i} -\overline d)^{2}$

이라고 할 때, 귀무가설 하에서 검정통계량의 값은

$T(X) = \frac{\overline d}{S_{d}/\sqrt{n}}$

이고, $T(X)의 분포는

$T(X) \sim N(0,1), \ n > 30 인 경우,$

$T(X) \sim t_{n-1}, \ n \leq 30 인 경우$

이다.

3. 검정

검정통계량 $T(X)$의 분포에서 가설의 종류(단측검정 또는 양측검정)와 유의수준 $\alpha$에 의해 기각역을 설정한다. 귀무가설 하에서의 검정통계량의 값 $T(X)$가 기각역에 속하면 귀무가설을 기각하고, 기각역에 속하지 않으면 귀무가설을 채택한다.